viernes, 6 de noviembre de 2009

Un billón de triángulos

Matemáticos de Norteamérica, Europa, Australia, y Sudamérica resolvieron el primer billón de casos de un antiguo problema de matemática.

El avance fue posible mediante una técnica ingeniosa para multiplicar números grandes. Los números involucrados son tan enormes que si sus dígitos fueran escritos a mano llegarían hasta la luna y volverían. El mayor desafío fue que esos números ni siquiera podían entrar en la memoria principal de las computadoras disponibles, por lo que los investigadores tuvieron que hacer un uso extenso de los discos duros de las computadoras.
Según Brian Conrey, Director del Instituto Americano de Matemática, “Problemas viejos como éste pueden parecer oscuros, pero generan un montón de investigación útil e interesante a medida que se desarrollan nuevas formas de atacarlos.”

El problema, que fue planteado por primera vez hace más de mil años, tiene que ver con el área de los triángulos rectángulos. El problema, sorprendentemente difícil, consiste en determinar qué números enteros pueden ser el área de un triángulo rectángulo cuyos lados son números enteros o fracciones. El área de un triángulo así se llama un “número congruente.” Por ejemplo, el triángulo de lados 3-4-5 que los estudiantes aprenden en geometría tiene área 1/2 × 3 × 4 = 6; por lo tanto 6 es un número congruente. El número congruente más pequeño es el 5, que es el área de un triángulo rectángulo con lados 3/2, 20/3, y 41/6.

Los primeros números congruentes son 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, y 21. Muchos números congruentes eran conocidos previamente a los nuevos cálculos. Por ejemplo, cualquier número en la sucesión 5, 13, 21, 29, 37, …, es un número congruente. Sin embargo otras sucesiones parecidas, como 3, 11, 19, 27, 35, …, son más misteriosas y cada número tiene que ser verificado individualmente.

El cálculo encontró 3,148,379,694 de estos números congruentes más misteriosos menores que un billón.

Los cálculos

A veces los resultados como éste son vistos con escepticismo debido a la complejidad de llevar a cabo un cálculo tan grande y el potencial para errores en la computadora o la programación. Los investigadores tuvieron especial cuidado en verificar sus resultados, haciendo el ćalculo dos veces, en computadoras diferentes, usando algoritmos diferentes, escritos por dos grupos independientes. El equipo de Bill Hart (Universidad de Warwick, en Inglaterra) y Gonzalo Tornaría (Universidad de la República, en Uruguay) usó la computadora Selmer en la Universidad de Warwick. La compra de Selmer fue financiada por el Consejo de Investigación en Ingeniería y Ciencias Físicas (EPSRC) del Reino Unido. La mayoría de su código fue escrito durante un workshop en la Universidad de Washington en junio de 2008.

El equipo de Mark Watkins (Universidad de Sydney, en Australia), David Harvey (Instituto Courant, NYU, en Nueva York) y Robert Bradshaw (Universidad de Washington, en Seattle) usó la computadora Sage en la Universidad de Washington. La compra de Sage fue financiada por la Fundación Nacional de Ciencia (NSF) de los Estados Unidos. El código de este equipo fue desarrollado durante un workshop en el Centro de Ciencias de Benasque Pedro Pascual en Benasque, España, en julio de 2009. Ambos workshops fueron patrocinados por el Instituto Americano de Matemática con financiación de la NSF.

Fuente